ĐKXĐ: x-3>0

=>x>3

\(\dfrac{2}{\sqrt{x-3}}=4\)

=>\(\sqrt{x-3}=\dfrac{1}{2}\)

=>x-3=1/4

=>x=13/4(nhận)

\(x=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{1}{8}\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow x+\frac{\sqrt{2}}{8}=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{\sqrt{2}}{8}\right)^2=\frac{1}{4}\left(\sqrt{2}+\frac{1}{8}\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+\frac{x\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{32}=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{32}\)

\(\Leftrightarrow x^2+\frac{x\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2+x\sqrt{2}-\sqrt{2}=0\)(1)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{2}=\sqrt{2}-4x^2\)

\(\Leftrightarrow x=1-2x^2\sqrt{2}\)

Thay vào M ta sẽ được

\(M=x^2+\sqrt{x^4+1-2x^2\sqrt{2}+1}\)

     \(=x^2+\sqrt{\left(x^2-\sqrt{2}\right)^2}\)

     \(=x^2+\left|x^2-\sqrt{2}\right|\)

Từ \(\left(1\right)\Rightarrow\sqrt{2}-x\sqrt{2}=4x^2\ge0\)

           \(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(1-x\right)\ge0\)

           \(\Leftrightarrow x\le1\)

           \(\Leftrightarrow x^2\le1< \sqrt{2}\)

           \(\Rightarrow\left|x^2-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}-x^2\)

Khi đó \(M=x^2+\left|x^2-\sqrt{2}\right|=x^2-\sqrt{2}+x^2=\sqrt{2}\)

|N|

\(x=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}}{\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}}=\frac{1}{2}.\left(\sqrt{2}-1\right)\)

\(\Rightarrow2x=\sqrt{2}-1\Rightarrow2x+1=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow4x^2+4x+1=2\Rightarrow4x^2+4x-1=0\)

\(B=\left[x^3\left(4x^2+4x-1\right)-x\left(4x^2+4x-1\right)+4x^2+4x-1-1\right]^{2018}+2018\)

\(=\left(-1\right)^{2018}+2018=2019\)

Lời giải:

Đặt mẫu số của $B$ là $M$.

Từ \(2018x^3=2019y^3=2020z^3\)

\(\Rightarrow \sqrt[3]{2018}x=\sqrt[3]{2019}y=\sqrt[3]{2020}z=\frac{\sqrt[3]{2018}}{\frac{1}{x}}=\frac{\sqrt[3]{2019}}{\frac{1}{y}}=\frac{\sqrt[3]{2020}}{\frac{1}{z}}=\frac{\sqrt[3]{2018}+\sqrt[3]{2019}+\sqrt[3]{2020}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\)

\(=\frac{\sqrt[3]{2018}+\sqrt[3]{2019}+\sqrt[3]{2020}}{8}=\frac{M}{8}\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{M}{8\sqrt[3]{2018}}\\ y=\frac{M}{8\sqrt[3]{2019}}\\ z=\frac{M}{8\sqrt[3]{2020}}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2018x^2=\frac{\sqrt[3]{2018}M^2}{64}\\ 2019y^2=\frac{\sqrt[3]{2019}M^2}{64}\\ 2020z^2=\frac{\sqrt[3]{2020}M^2}{64}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow 2018x^2+2019y^2+2020z^2=\frac{M^2(\sqrt[3]{2018}+\sqrt[3]{2019}+\sqrt[3]{2020})}{64}=\frac{M^3}{64}\)

\(\Rightarrow B=\frac{\sqrt[3]{\frac{M^3}{64}}}{M}=\frac{M}{4M}=\frac{1}{4}\)

Lời giải:

Ta thấy: $x^2\geq 0$ với mọi $x$ nên $x^2+9+2019\geq 9+2019=2028$

$\Rightarrow A=\sqrt{x^2+9+2019}\geq \sqrt{2028}$

Vậy GTNN của $A$ là $\sqrt{2028}$ khi $x=0$

Lời giải:

Điều kiện đề bài:

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2-x\sqrt{x}-y\sqrt{y}=0\\ x^2\sqrt{x}+y^2\sqrt{y}-x^2-y^2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)+y\sqrt{y}(\sqrt{y}-1)=0\\ x^2(\sqrt{x}-1)+y^2(\sqrt{y}-1)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (x^2-x\sqrt{x})(\sqrt{x}-1)+(y^2-y\sqrt{y})(\sqrt{y}-1)=0\) (lấy vế 2 trừ vế 1)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2+y\sqrt{y}(\sqrt{y}-1)^2=0\)

Vì mỗi số hạng trên đều không âm với mọi $x,y>0$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:

\(x\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2=y\sqrt{y}(\sqrt{y}-1)^2=0\)

\(\Rightarrow x=y=1\Rightarrow x+y=2\)

điều kiện : \(x>0\), \(x\) ≠ 1.

rút gọn biểu thức ta được P = \(\frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}\)

ta có : Px + (P \(-\)1)\(\sqrt{x}\)+P\(-\)2 = 0, ta coi đây là ptr bậc hai của \(\sqrt{x}\).

nếu P = 0⇒\(-\sqrt{x}-2\) = 0 vô lí, suy ra P ≠ 0 nên để tồn tại x thì ptr trên có \(\left(P-1\right)^2-4P\left(P-2\right)\) ≥ 0

⇔ \(-3P^2+6P+1\) ≥ 0

⇔ \(P^2-2P+1\) ≤ \(\frac{4}{3}\)

⇔ \(\left(P-1\right)^2\) ≤ \(\frac{4}{3}\)

do P nguyên nên \(\left(P-1\right)^2\) bằng 0 hoặc 1

+) nếu \(\left(P-1\right)^2\) = 0 ⇔ P = 1 ⇔ x = 1 ( không thỏa mãn )

+) nếu \(\left(P-1\right)^2\) = 1 ⇔ \(\begin{matrix}\text{[}&P=2\\\text{[}&P=0\end{matrix}\) ⇒ P = 2

⇔ \(2x+\sqrt{x}=0\) ⇔ x = 0 ( ko thỏa mãn )

vậy không có gtri nào của x thỏa mãn.